Lokálne a konvektívne zmeny

17.03.2010 19:13

 

Lokálne a konvektívne zmeny

V počítačovej dymanike tekutín má vyjadrenie časových zmien kľúčový význam. Vyjadrenie časovej zmeny ukážeme na jednoduchom príklade. Napríklad hustota, teplota a podobne, ktoré sú skalárnou veličinou, sú vo všeobecnosti funkciou polohy a času:

 

$\displaystyle \phi = \phi (x,y,z,t) $

 

Čiastočka tekutiny sa pohybuje z miesta 1 v čase $ t_{1}$ do miesta 2 v čase $ t_{2}$. V čase $ t_{1}$ je jej niektorá charakteristická veličina $ \phi _{1}$ a v čase $ t_{2}$ $ \phi _{2}$. Pomocou Taylorovho rozvoja sa dá vyjadriť $ \phi _{2}$ nasledovne:

 

\begin{displaymath}\begin{gathered}\phi _2 = \phi _1 + \left( {\frac{{\partial \... ...} \right)_1 \left( {t_2 - t_1 } \right) + \ldots \end{gathered}\end{displaymath} (2.103)

 

 

Po úprave:

 

$\displaystyle \frac{{\phi _2 - \phi _1 }} {{t_2 - t_1 }} = \left( {\frac{{\part... ...1 }} {{t_2 - t_1 }} + \left( {\frac{{\partial \phi }} {{\partial t}}} \right)_1$ (2.104)

 

 

Ak sa bude časový interval $ t_{2} - t_{1}$ nekonečne malý je:

 

 

$\displaystyle \lim\limits_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\phi _{2} - \phi _{1}}{... ...o\v{z}ka}} + \underbrace{\frac{\partial \phi}{\partial t}}_{\text{lok\'{a}lna}}$ (2.105)

 

 

Derivácia $ \mathrm{D}\phi / \mathrm{D}t$ má podľa odvodenia význam časovej derivácie (zmeny) veličiny sledujúcej pohyb tekutiny. Derivácia ( $ \partial \phi / \partial t$) je vo význame časovej zmeny veličiny vo fixovanom bode. Derivácia $ \mathrm{D}\phi / \mathrm{D}t$ je vo všeobecnosti rôzna od nuly i keď je lokálna zmena $ \partial \phi / \partial t = 0$. Zostávajúce parciálne derivácie tvoria v súčte konvektívnu zmenu, t.j. rozdiel $ \phi$ v konkrétnom čase medzi rôznymi miestami.

Deriváciu $ \mathrm{D}/ \mathrm{D}t$ sledujúca pohyb tekutiny vyjadrujúca súčet lokálnej zmeny a konvektívnej zmeny a závisí od:

  • zmeny veličiny v čase vo zvolenom mieste poľa,
  • priestorového rozloženia - gradientu $ \phi$,
  • rýchlosti, akou sa čiastočky tekutiny pohybujú v sledovanom mieste.

Obecnejšiu zmenu fyzikálnej veličiny v čase budeme označovať symbolom $ \mathrm{d}/ \mathrm{d}t$ a vysvetlíme jej fyzikálny význam na príklade. Nech sa plavák pohybuje rýchlosťou $ \vec {u}$ na hladine prúdiacej kvapaliny, ktorej rýchlosť prúdenia je $ \vec {c}$. Plavák môže nepretržite zaznamenávať veličinu $ \phi=\phi(x,y,z,t)$. Fyzikálna veličina sa bude meniť vo všeobecnosti od miesta k miestu a tiež i v čase. Zmena je vyjadrená všeobecne z Taylorovho radu:

 

$\displaystyle \frac{{\phi _2 - \phi _1 }} {{t_2 - t_1 }} = \left( {\frac{{\part... ...1 }} {{t_2 - t_1 }} + \left( {\frac{{\partial \phi }} {{\partial t}}} \right)_1$ (2.106)

 

 

Zmena $ \phi$ pozdĺž dráhy plaváku, sa interpretuje v tomto prípade ako zmena polohy, ktorá vznikla na základe pohybu plaváku rýchlosťou $ \vec {u}$:

 

$\displaystyle u_{x} = {\frac{{x_{2} - x_{1} }}{{t_{2} - t_{1} }}} \qquad u_{y} ... ...}{{t_{2} - t_{1} }}} \qquad u_{z} = {\frac{{z_{2} - z_{1} }}{{t_{2} - t_{1} }}}$ (2.107)

 

 

 

$\displaystyle {\frac{{\mathrm{d}\phi}}{{\mathrm{d}t}}} = {\frac{{\partial \phi}... ...c{{\partial \phi}}{{\partial z}}}u_{z} + {\frac{{\partial \phi}}{{\partial t}}}$ (2.108)

 

 

Ak je plavák unášaný t.j. $ \vec {c}= \vec {u}$ je $ \mathrm{d}\phi / \mathrm{d}t = \mathrm{D}\phi / \mathrm{D}t$ a ide o deriváciu sledujúcu pohyb tekutiny. Ak je plavák nehybný zapisuje $ \phi$ v konkrétnom mieste $ x,y,z$, takže je $ \vec {u} = 0$ a $ \mathrm{d}\phi / \mathrm{d}t = \partial \phi / \partial t$.

Späť